这一章我们主要学习线性代数最基础的一个概念——行列式，它的作用在线性代数中不容小觑。他很简洁，但是正是因为它的简洁使得线性方程组的计算尤为简单明了。我们会从它的基本定义和作用进行分析，最后讲解一个重要的性质——克拉默法则作为本章的收尾。

第一章 行列式

1.什么是行列式

在线性代数中，我们把n元方程组的系数抽象出来的一个用 “||”符号包裹着的n列数列称为行列式。行列式在线性代数的计算过程中发挥着重要的作用，他清晰的从方程组抽象出 简洁的“数据”，从而直观的进行计算和分析。这里的阶数是指未知数的个数。

PS：值得注意的是，行列式其实是“方行列式”，即行数和列数是相等的，总的个数为n^2。

2.行列式的概念定义

行列式有一个非常神奇的性质，如果从算法的角度去理解的话，就是分而治之。（实际问题中，我们手算的极限是三阶行列式，真正去那计算机解决行列式的计算，我认为递归是一种很好的方式，在排除复杂度分析的情况下。）当你展开一个三阶行列式，你会发现可以用一行或者一列的系数乘以除了这个数所在行列的二阶行列式的乘积。如果你愿意动手去算一下，你会发现事实确实如此，因此行列式的概念定义为：

图1 行列式的定义

对于余子式和代数余子式，你可以从他的名字直观地理解：余子式，就是除了他本身所在行列余下的式子，而代数余子式则是带有代数符号的余子式，而真正的行列式的展开是代数余子式参与运算的，注意这一点。

3.行列式的性质

接下来我们会介绍一些行列式最基本的性质，这些性质很基础使我们日后分析计算的基石：

  • 性质1：转置行列式相等

图2 转置相等证明

其实从行列式的概念性质我们就可以知道，转置对于代数余子式只改变的加法的交换顺序，在这里我们只考虑对[1,2,3]进行展开（读者考虑一下为什么我们证明时候只考虑一种特殊的展开方式？），而同样的二阶的行列式转置只改变了减数（bc）乘法的交换顺序，因此三阶行列式的转换是等价的。同样的可以用归纳法去总结n阶行列式的转置不变性。

  • 性质2：某一行或某一列的公因子可提到行列式外面，反之亦然
    这个其实很好理解，当你以这一行含有k的未知数的行列式去展开就会发现代数余子式的每一项都多了一个k，整体提出来便是原来行列式的k倍。

  • 性质3：行列式交换，行列式变号。

  • 性质4：某一行是两个元素之和，可以拆成两个行列式的之和。
    还是从定义的角度去拆解，类似性质2

  • 性质5：某一行（列）乘以k加到另外一行（列），值不变（线性变化）

  • 性质6：某一行（列）元素和另外一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0（经常用来计算）

  • 性质7：范德蒙行列式

图2 转置相等证明

  • 性质8：（克拉默法则）如果线性方程组的系数行列式不为0，那么方程组有唯一解。