第二章 矩阵及其运算

第二章我们研究的是矩阵以及运算，这里我们特别的要区分一下矩阵和行列式的不同之处，一个是多维的向量，一个是数值，可不要被他外边包裹的小小的符号“[ ]”,“| |”所迷惑！

1.矩阵的定义

同样的，我们从方程组中抽象出来的用“[ ]“包裹的数表叫做矩阵，但是，仔细观察你就会发现，矩阵不一定是方阵，因此他的行数和列数不一定相等，而且矩阵的数表里面有等号右边→_→的结果。在实际生活中，矩阵常常伴随着每一维度不同的含义，通常行代表不同的样本，列代表不同的属性。当且仅当行数等于列数时候，矩阵是方阵。

特殊矩阵：

  • 三角矩阵：矩阵的内容刚好填充了上三角或或下三角的内容
  • 对角矩阵：对角线都为零
  • 数量矩阵：对角线都为相同的数，特别的，当全部都为1时成为单位矩阵。

2.矩阵的运算

2.1矩阵的加法运算

对应矩阵位置的数相加，特别的需要他们的维度相同。

2.2矩阵的数乘运算

和行列式要区分开，k乘以一个矩阵等于乘以所有的数。

2.3矩阵的乘法运算

矩阵的乘法需要满足正确的维度(n, m)x (m, k)，谈到矩阵乘法就想起一个非常经典的动态规划问题。
特别的，矩阵满足结合律和分配律，不满足交换律

2.4矩阵的转置

互换矩阵的行和列，相当于沿时钟方向旋转一个角度。特别的: $$（AB)^T = B^TA^T$$

2.5矩阵的共轭

图1 共轭矩阵的定义

2.6 方阵的行列式

由n阶方阵构成的行列式，叫做矩阵的行列式，记作detA 当|A|=0时方阵是奇异的，|A|!=0 称为非奇异的。

3.可逆矩阵

可逆矩阵的定义：方阵A，存在B，AB=BA=E，则称A是可逆矩阵且B是A的逆矩阵，否则不可逆。矩阵是否可逆决定了他对应的矩阵方程是否有解。以下是一些常见的可逆矩阵的性质。

图1 可逆的性质

相应的在求解矩阵方程中，如果未知数矩阵的左右两边的系数矩阵是可逆的，那么利用可逆矩阵的性质我们可以对未知数矩阵进行消参，从而实现方程组的求解。

2.分块矩阵

顾名思义，分块矩阵就是对矩阵进行分块，从而分割成更小的矩阵。特别的，如果你对矩阵按照每一行每一列的方式进行分块的话，那么就称为行分块和列分块。那分块矩阵有什么用呢？

其实最大的用途就是我们可以根据特殊矩阵的性质将大的矩阵分解成小的矩阵简化计算，当A B是相同分发的分块对角阵时，它有着如下一些性质：

图1 可逆的性质