第三章 线性方程组和矩阵的相似对角化

线性方程组理论是线性代数最基本的内容，实际生活中有很多问题可以总结为线性方程组的求解。在方程的数量和未知数的个数相同时，我们可以用到克拉默法则判定方程组的解，然而在实际生活中，方程的阶数和方程的个数不一定相等，这一章我们通过矩阵的初等变换来讨论线性方程组的求解方法。

1.高斯消元法

其实高斯消元法就是我们在初中和小学时学到的方程组的求解，然而当时的我们只是使用这种求解方法而不知道他的名字，现在我们一起去了解一下解方程组的高斯消元法

三种变换：

  • 换法变换
  • 倍法变换
  • 消元变换

其实消元变换就是换法变换和倍法变换的组合。

1.1增广矩阵

增广矩阵就是在我们方程组的系数矩阵的右边加上方程组的解，这样在变换的过程中，只要我们使得方程组左边只剩下一个未知变量，那么对应的右边便是方程组的解。

1.2行阶梯型矩阵

行阶梯行矩阵就是像阶梯一样的矩阵每个台阶只有一行，阶梯线下方的元素都为0。

要注意的问题：
想想实际生活中，阶梯有没有可能长度不一样，如果有的话会不会影响行走？阶梯的高度有没有可能不一样？如果有的话会不会影响行走，这样你就会明白为什么叫做行阶梯了。

在求解过程中，如果方程的未知数多余方程的个数，那么这个时候会存在自由未知量，当方程有无数个解时，其中的一个解便是特解（特殊的一个解）。

2矩阵的初等变换和矩阵的秩

初等矩阵：对单位矩阵E进行一次初等变换之后的矩阵，在初等变换矩阵这里有一个重要的概念就是，对矩阵进行初等行变换相当于左乘初等变换矩阵，列变换相当于右乘。

矩阵的秩：矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，用于描述矩阵的线性相关性和维度。秩可以帮助我们理解矩阵的性质和解决一些问题。矩阵的秩表示的是他行或列线性无关组的向量行数或列数。如果拿k阶子是来解释的话，即矩阵的存在一个r阶子式不为0，r+1阶子式全为0，那么矩阵的秩为r。

矩阵的秩有一些常见的性质：

  • 矩阵的秩不超过它的行数或列数。
  • 对于一个n×n的方阵，如果它的秩等于n，那么它是满秩的，表示它的行向量组或列向量组是线性无关的，它是可逆的。
  • 对于一个m×n的矩阵，它的秩不超过m和n中的较小值，如果秩等于m或n，那么它是满秩的，表示它的行向量组或列向量组是线性无关的。

3线性方程组的解的判定定理

对于线性方程组而言：
（1）形如Ax=b的矩阵有解的充要条件是R(A)=R(A,b)=r，当满足有解的条件下r=n是有唯一解，r<n时有无穷多解
（2）形如Ax=0的矩阵一定有解，当R(A)=n时候只有零解（唯一解）r<n时候有非零解（无穷多解）
这样对应起来记忆会更好一点~

4向量组的线性相关性

定义：一组向量的线性组合称为向量组的线性组合（？说了好像没说，看图）

图1 向量的线性组合

向量组的等价：两组向量可以由对方彼此相互表示，则说明这两组向量是等价的。

线性相关和线性无关：对于一个向量组，如果存在一个不全为0的一组系数，使得这组向量为0，那么他们便是线性相关的，否则便是线性无关的。另外，一组向量线性相关的充要条件是R(A)<n,线性无关的条件是R(A)=n。