矩阵的相似对角化是线性代数中的一个重要的问题，所以我们需要在接下来的过程中去求解。最佳的方程组。与此同时展开它与矩阵的特征值及特征向量密切相关模式识别经济学中的动态经济模型研究社会学中的人口迁移问题有着重要的作用。

线性空间

首先第一个概念向量空间。什么是向量空间呢？在一个空间内即满足任意的两个向量都属于这个空间任意常数乘以这一个向量也属于这个空间。那么我们就定义这是向量空间，那么在空间上定义一个二元实函数。称为内积。且具有如下的性质：

  • 线性性
  • 对称性
  • 正定性

称向量为欧几里得向量。

标准正交基

在欧式空间R的N次幂中如果一组非零向量两两正交,那么则称为一个正交向量组;如果一个基中的向量两两正交称这个基为正交基;如果一个正交基中的向量都是单位向量称这个标准正交向量。

正交矩阵的定义如果N阶方阵满足a的转置乘以a等于a乘以a的转置等于单位矩阵那么称a为正交矩阵正经正经

矩阵的特征值与特征向量

什么是特征值呢如果对于一个方阵存在一个数Lambda和非零向量X使得a乘以X等于Lambda乘以X那么Lambda就是a的一个特征值而X称X为a的属于特征值的一个特征向量特征值与特征向量有哪些性质呢？一个方阵和它的转置有着相同的特征值。一个矩阵属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

矩阵的相似对角化

什么是矩阵的相似矩阵呢？如果存在N阶可逆矩阵P。使得B等于P的逆乘以a乘以P。那么称a和B相似，记。作a波浪线B。这是矩阵P称为相似变换矩阵。矩阵可相似对角化有一些条件。首先第一个定理，如果N阶方阵a可以相似对角化，那么它的充要条件是a有N个线性无关的特征向量。N阶方阵a可相似。对角化的充要条件是a的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。