线性空间是线性代数的基本研究对象之一，线性空间是向量空间的扩展，它使向量和向量空间的概念更具有一般性，同时也更加抽象。本章将给出一般线性空间的概念，并介绍线性空间上的一种重要对应关系，即线性变换和线性变换所对应的矩阵之间的关系。

1.线性空间的概念

我们曾定义过向量空间，那么对于线性空间的定义：在集合v的元素之间定义加法对于任意的。两个元素，它们的和也属于这个元素对加法封闭。在集合中的元素与数域的元素之间进行数量乘法，如果两种运算满足下面的运算律，那么v是P上的一个线性空间。

  • 交换律
  • 结合律
  • 负元素
  • 0元素
  • 分配律
  • 零律

2.线性子空间

如果线性空间的一个非空子集，对于加法和数乘都是封闭的，那么，它就是线性空间的一个子空间。

3.线性空间的基维数与坐标

什么是线性空间的基？线性空间的基是构成这个线性空间中所有向量的基础 如果这组基存在任意的一组系数，与之相乘等于零，这组基是线性相关的,否则是线性无关的。

4.基变换与坐标变换

在N维线性空间中任意N个线性无关的向量都可以去做该向量空间的记忆。对于不同的基。从一个向量的坐标一般是不同的那么随着基的改变。向量的坐标是如何变化的？向量基的一个到另一个的变化通常由其变化矩阵来实现。我们称之为过渡矩阵。